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Factor Común

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:
begin{displaymath}{x^3y}+{x^2x^2}-{2xy}={xy(x^2+xy-2)}end{displaymath}
 

Factor Común por agrupación de términos

Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:
begin{displaymath}{ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)}end{displaymath}


begin{displaymath}{=x(a+b)+y(a+b)}end{displaymath}


begin{displaymath}{=(a+b)(x+y)}end{displaymath}


Casos para Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto:Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:
  • El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.
  • El segundo término es igual a dos vces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o difeencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza asi:

begin{displaymath}{a^2}+-{2ab}+{b^2}={(a+-b)^2}end{displaymath}


Diferencia de cuadrados:

para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:
begin{displaymath}{x^2}-{y^2}={(x+y)(x-y)}end{displaymath}

Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;
begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}-{b}end{displaymath}

si n es par y
begin{displaymath}{a^n}-{b^n}/{a}+{b}end{displaymath}

si n es impar
begin{displaymath}{a^n}+{b^n}/{a}+{b}end{displaymath}

se factoriza asi: si n pertenece a z
begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a-b)({a^n-1}+{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}+{...}+{a^n-n}{b^n-1})}end{displaymath}

si n es par
begin{displaymath}{a^n}-{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}-{a^n-n}{b^n-1})}end{displaymath}

si n es impar
begin{displaymath}{a^n}+{b^n}={(a+b)({a^n-1}-{a^n-2}b+{a^n-3}{b^2}-{...}+{a^n-n}{b^n-1})}end{displaymath}

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo:
begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4}end{displaymath}

resolviendolo nos queda:
begin{displaymath}{m^4-10m^2n^2+9n^4+4m^2n^2-4m^2n^2}end{displaymath}


begin{displaymath}{m^4-6m^2n^2+9n^4-4m^2n^2}end{displaymath}


begin{displaymath}{(m^2-3n^2)^2-(2mn)^2} end{displaymath}

Aplicamos diferencia de cuadrados:
begin{displaymath}{[(m^2-3n^2)+2mn][(m^2-3n^2)-2mn]} end{displaymath}
 

Trinomio cuadrado de la forma ${x^{2n}}+{bx^n}+{c}$

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:
  • Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
  • El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.
  • La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
  • Existen dos números que :
    begin{displaymath}{M}+{m}={b} y {M}.{m}={c}end{displaymath}

    es decir:
    begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}={({x^n}+{M})({x^n}+{M}}end{displaymath}


    Trinomio cuadrado de la forma ${ax^{2n}}+{bx^n}+{c}$

    Debe cumplir con las siguientes características:
    • Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
    • El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
    • La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
    • Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma
      begin{displaymath}{x^{2n}}+{bx^n}+{c}end{displaymath}

      de la siguiente forma:
      begin{displaymath}{ax^{2n}}+{bx^n}+{c}end{displaymath}

      luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
      begin{displaymath}frac{a(ax^2n+bx^n+c)}{a}end{displaymath}

      y se opera, dando como resultado:
      begin{displaymath}frac{(ax^n)^2+b(ax^n)+ac}{a} end{displaymath}

       

    y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.



    Cubo perfecto de Binomios

    Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
    begin{displaymath}(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3end{displaymath}

    y
    begin{displaymath}(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3end{displaymath}

    es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:
    • Debe tener cuatro términos.
    • Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos
    • Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
    • Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .
    Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:
    begin{displaymath}{(1+12a+48a^2+64a^3)}end{displaymath}
     
     

    Suma o Diferencia de Cubos perfectos

    Para esto debemos recordar que:
    begin{displaymath}frac{a^3+b^3}{a+b} = a^2-ab+b^2end{displaymath}

    y
    begin{displaymath}frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2end{displaymath}

    Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
    • La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
    • La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.


    Suma o Diferencia de dos potencias iguales

    Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulacion de:
    • ${a^n-b^n}$ es divisible por ${a-b}$ siendo n un número par o impar
    • ${a^n+b^n}$ es divisible por ${a+b}$ siendo n impar
    • ${a^n-b^n}$ es divisible por ${a+b}$ siendo n par
    • ${a^n+b^n}$ nunca es divisible por ${a-b}$
    Ejemplo:
    begin{displaymath}{m^5+n^5}end{displaymath}

    se divide por
    begin{displaymath}{m+n}end{displaymath}

    y tenemos:
    begin{displaymath}frac {m^5+n^5}{m+n}=m^4-m^3n+m^2n^2-mn^3+n^4end{displaymath}

    y obtenemos como respuesta:
    begin{displaymath}{m^5+n^5}={(m+n)(m^4-m^3n+m^2n^2-mn^3+n^4}end{displaymath}


    Casos para Polinomios

    Agrupación de términos:Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:
    begin{displaymath}{2ab+2a-b-2ac+c-1} end{displaymath}

    resolviendolo nos queda:
    begin{displaymath}{(2ab-2ac+2a)-(b-c+1)} end{displaymath}


    begin{displaymath}{2a(b-c+1)-(b-c+1)} end{displaymath}


    begin{displaymath}{(b-c+1)-(2a-1)} end{displaymath}

     
 
 
 
 

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