SEGUNDO BIMESTRE ÁLGEBRA DE POLINÓMIOS ALGEBRA BASICA 1er SEMESTRE

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Álgebra de Polinómios

Definición algebraica

Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $mathbb{R}$ o $mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

[editar] Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables son similares a los de una variable. La diferencia es que en ellos cada uno de los monomios puede contener más de una letra de variable. Por ejemplo:

$5xy, 3xz^2, 4xy^2z, dots$

Son monomios de varias variables. Más en detalle el último de ellos scriptstyle 4uv^2t es un momonio de tres variables
(ya que en él aparecen tres letras x, y y z), el coeficientes es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1, ya que xy²z = x¹y²z¹.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

$begin{matrix} P(x)Q(x) =(2x^3+4x+1)(5x^2+3) =(2x^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3) =(10x^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3) =10x^5 + 26x^3 + 12x + 5x^2 + 3 end{matrix}$

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

$P(X)Q(X) = left( sum_{i=0}^m a_i X^i right) left(sum_{j=0}^n b_j X^j right) = sum_{k=0}^{m+n} left(sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} right) X^k$

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios $scriptstyle P(X)$ y $scriptstyle Q(X)$ y el polinomio producto $scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) $mbox{gr}(P(X)Q(X)) = mbox{gr}(P(X)) + mbox{gr}(Q(X)),$

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que $scriptstyle mbox{gr}(0) = -infty$ (junto con la operación $forall p: -infty + p = -infty$ ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.


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