Definición de Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + ... + a₁ x¹ + a₀

Siendo a_n, a_{n -1} ... a₁ , a_o números, llamados coeficientes.

a_o es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio de grado cero

P(x) = 2

Polinomio de primer grado

P(x) = 3x + 2

Polinomio de segundo grado

P(x) = 2x²+ 3x + 2

Polinomio de tercer grado

P(x) = x³ − 2x²+ 3x + 2

Polinomio de cuarto grado

P(x) = x⁴ + x³ − 2x²+ 3x + 2

Clases de polinomios

Polinomio nulo

El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

P(x) = 2x³ + 3x² − 3

Polinomio completo

Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x³

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x³ − 2x − 7

Tipos de polinomios según el número de términos

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x²

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x² + 3x

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x² + 3x + 5

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Ejercicios resueltos de polinomios

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x⁴ − 3x⁵ + 2x² + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 + 7X² + 2

No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x⁴

Grado: 4, término independiente: 1.

4

No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural.

5x³ + x⁵ + x²

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2 x^{− 3} + 8

No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7

Grado: 3, término independiente: -7/2.

2 Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x⁴ − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x² + 5 − 2x³

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x⁴ − x³ − x² + 3x + 5